카이제곱분포 \(\chi^2(k)\) 의 분산을 구해본다.
💡 핵심 개념
카이제곱 분포는 표준정규분포를 따르는 값의 제곱을 더한 것.
예를 들어
\[Z_1, Z_2, \cdots, Z_k \sim N(0,1)\]
라면
\[\chi^2(k) = Z_1^2 + Z_2^2 + \cdots + Z_k^2\]
✨ Step 1 : 먼저 \(Z^2\) 의 평균과 분산을 구하기
\[E(Z) = 0,\quad \operatorname{Var}(Z) = 1\]
\[E(Z^2) = \operatorname{Var}(Z) + (E(Z))^2 = 1 + 0 = 1\]
- \(Z^4\) 의 기댓값 구하기 위해 표준정규분포의 확률밀도함수를 이용한다.
\[f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2}\]
\[E(Z^4)=\int_{-\infty}^{\infty} z^4 f(z), dz
= \int_{-\infty}^{\infty} z^4 \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2}dz\]
\[\operatorname{Var}(Z^2)
= E(Z^4) - [E(Z^2)]^2
= 3 - 1^2 = 2\]
- 표준정규의 제곱 \(Z^2\) 는 평균 1, 분산 2
✨ Step 2 : k개 더하면?
\[\chi^2(k) = \sum_{i=1}^{k} Z_i^2\]
\[E(\chi^2(k)) = \sum_{i=1}^{k} E(Z_i^2) = k \cdot 1 = k\]
\[\operatorname{Var}(\chi^2(k)) = \sum_{i=1}^{k} \operatorname{Var}(Z_i^2)
= k \cdot 2 = 2k\]
🎯 결론
\[\boxed{\operatorname{Var}(\chi^2(k)) = 2k}\]
참고자료
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