표본분포 sampling distribution
- 일반적으로 모집단 전체를 조사하는 것이 불필요하거나 불가능하여 모집단에서 표본을 추출하여 추론하게 된다.
- 모집단에서 추출한 표본을 바탕으로 모집단의 모수를 추정하는 방법을 찾을 때 모수 추정에 적합한 확률표본의 함수인 통계량을 고려해야 한다.
- 모집단의 평균과 분산을 추정하는 데 적합한 통계량인 표본평균과 표본분산이 대표적인 통계량이다.
- 표본평균과 표본분산은 확률표본 X₁, X₂, … , Xn의 함수로 나타낼 수 있으며 따라서 통계량은 확률변수로 나타내는 또 다른 확률변수이다.
- 통계량의 분포를 표본분포라고 하며, 모수와 통계량의 관계를 보여준다.
합과 평균의 확률분포
적률생성함수의 성질
- 적률생성함수의 유일성: 서로 다른 확률분포는 서로 다른 적률생성함수를 가진다는 성질이다.
- 반대로, 두 확률변수의 적률생성함수가 동일하다면, 두 확률변수는 같은 확률분포를 따른다는 의미이기도 하다.
- 이 성질을 통해 특정 확률변수의 적률생성함수를 알면 그 분포가 무엇인지 파악하는 데 사용할 수 있다.
표본분산의 확률분포
카이제곱분포
- 표준정규분포를 따르는 모집단에서 k 개의 표본을 추출하였을 때, 제곱의 합과 관련한 분포
- 감마분포의 특수한 형태
- 가법성(加法性, Additivity, 덧셈 사상, 가산 사상)
- 여러 개의 요소 또는 구성 요소가 더해질 때, 그 합이 변하지 않고 일정하게 유지되는 특성을 의미
- 정의역의 두 함수들에 대한 함수와 항상 각 함수의 값 합계가 서로 같은 값을 반환한다는 함수의 성질
- 카이제곱분포를 그래프로 설명: 카이제곱분포란?~
표준화된 표본평균의 확률분포
t분포
- 다음 통계량 t의 분포는 정규분포가 아닌 t분포를 따른다(1908, 고셋 증명함)
- 표본의 크기가 30보다 적은 경우, 모분산을 모를 경우에 확률표본에서 얻어진 표본분산을 구해 이를 모분산 대신 사용할 때 정규분포가 아닌 t분포를 따른다.
표본분산비의 확률분포
F분포
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두 집단의 분산을 비교하고 싶을 때 각각의 분산은 카이제곱을 따르는데, 두 분산의 비율이 F-분포를 따른다.
- 자유도:
- 예시: 5개의 숫자 평균이 3이라고 할 때, 5개 중 4개의 숫자는 마음대로 고를 수 있지만, 마지막 한 개의 숫자는 정해져 있다. 1, 3, 5, 7 숫자를 선택했다면 평균 3이 되기 위해서 마지막 숫자는 반드시 -1이 되어야 한다. 이때 숫자 4개는 제가 마음대로 골랐기 때문에 이 경우에 자유도는 4가 된다.
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