통계학과 확률의 개념 정리 2

독립사건과 배반사건

• 배반사건= 서로 동시에 일어날 수 없는 사건
• 예를 들어,
  • 주사위를 던졌을 때 전체집합 = U
  • 홀수가 나오는 사건 = A
  • 짝수가 나오는 사건 = B
  • 주사위를 던졌을 때 홀수와 짝수가 동시에 나올 수는 없으므로 배반사건이다.
  • P(A∩B)=∅ 
• 독립사건= 서로 영향을 미치지 않는 사건
• 예를 들어,
  • 주사위를 던졌을 때 전체집합 = U
  • 홀수가 나오는 사건 = A
  • 3의 배수가 나오는 사건 = B
  • B가 일어날 확률 1/3 (1, 2, 3, 4, 5, 6 중에 3, 6)
  • A가 일어났을 때 B가 일어날 확률 1/3 (1, 3, 5 중에 3)
  • 주사위를 던졌을 때 A가 일어났을 때와 일어나지 않았을 때 B의 확률이 동일한 경우, 즉 A가 일어나든 말든 B의 확률에 영향을 미치지 않는 경우 독립사건이다.
  •  P(A∩B) = P(A) × P(B)
• 참고자료:⠀ 배반사건과 독립사건

공분산 covariance

• 하나의 확률변수에 대해서 그 확률분포의 중심과 변동성에 관심을 가진다면 두 변수에 대해서는 그 관계에 대해 관심을 가지며 이 관계를 나타낸 것이 공분산이다.
• 두 확률변수 X와 Y의 변동 방향과 강도를 나타낸다.
• 공분산 정의 유도: https://blog.naver.com/mykepzzang/220838462884

상관계수 correlation

• 공분산을 표준화하여 두 확률변수의 선형관계를 파악하는 것이다.
• 두 변수의 연관성을 보여주는데, 공분산은 측정단위에 영향을 받는 반면에, 상관계수는 측정단위에 영향을 받지 않는다. 
• 참고자료: https://blog.naver.com/mykepzzang/220838509912

적률 moment

• 확률변수 X의 n제곱 기대값인 E[X^n]를 확률변수 X의 원점에 대한  n차 적률이라 한다
  • 양수 n = 차수
• 적률이 중요한 이유는 확률분포의 특징을 설명하는 지표로서 역할을 하기 때문이다.
  • 예를 들어
    • 1차 적률은 확률변수의 평균(mean)
      • 확률분포의 무게중심
    • 2차 중심적률은 분산(variance)
      • 모집단이 모집단의 중심(기대값)으로부터 얼마나 흩어져 있는지, 즉 모집단의 변동성을 나타내는 척도
    • 3차 중심적률은 왜도(skewness)
      • 확률밀도함수의 비대칭성을 나타내는 척도
    • 4차 중심적률은 첨도(kurtosis)를 나타낸다.
      • 확률밀도함수의 뾰족한 정도를 뜻하는 척도
• 모멘트(=적률)란 물리학에서 사용되는 개념으로 “어떤 물리량과 어떤 기준점 사이의 거리를 곱한 형태를 가지는 것 즉, 모멘트 = 물리량 * 거리”이다.
• 예를 들어 몸무게 같은 두 명의 사람이 시소를 탄다고 하자. 이 때 두 사람이 모두 양 끝에 탔을 때랑, 한 사람은 끝에 한 사람은 한 칸 앞에 탔을 때 작용하는 모멘트가 달라지는 것과 같다.
  • 즉 두 사람의 질량은 같아도 질량이 분포된 모양(거리)에 따라 효과가 달라지는 것이다.
  • 어떤 물리량이란 것은 질량, 힘, 길이 등이 될 수 있고 쉽게 (질량 x 거리), (힘 x 거리), (길이 x 거리)로 표현하는 것을 모멘트(=적률)이라고 한다. 
• 통계학에서 모멘트는 한 마디로 질량이 분포된 모양에 따라 그 효과가 달라지는 현상을 말한다.
• 통계에서 적률을 사용하는 이유는 ”분포”와 관련있기 때문이다. 물리학에서 모멘트는 앞서 시소 예제와 같이 질량과 거리에 따라 달라졌다. 통계학에서의 적률은 확률과 확률변수에 따라 적률이 달라진다.
  • 질량이 확률로, 거리가 확률변수로 바뀐 것이다
• 적률의 수식 정의에 따라 연속확률변수에서 적률을 구하기 위해 적분을 해야하지만 적분 계산이 어렵거나 불가능한 경우도 있기 때문에 이러한 상황을 해결하고자 적률생성함수(Moment Generating Function, MGF)를 만들어 사용한다. 
• 출처: https://roytravel.tistory.com/353

참고자료

• 통계학의개념및제문제 - 한국방송통신대학교 출판문화원